Tổng hợp các bài toán khó trong đề thi học kì 2 môn Toán Lớp 7 (Có đáp án)

Nội dung text: Tổng hợp các bài toán khó trong đề thi học kì 2 môn Toán Lớp 7 (Có đáp án)

1. Tổng hợp các bài toán khó trong đề thi học kì 2 lớp 7 A. Các bài tập nâng cao chọn lọc trong đề thi học kì 2 lớp 7 Bài 1: Cho đa thức f x ax3 2bx 2 3cx 4d a 0 với a, b, c, d là các số nguyên. Chứng minh không thể tồn tại f(7) = 72 và f(3) = 42 Bài 2: Cho đa thức f(x) thỏa mãn điều kiện: x.f(x + 1) = (x + 2).f(x). Chứng minh rằng đa thức f(x) có ít nhất hai nghiệm Bài 3: Cho hàm số f x ax 2 bx c a,b,c Z . Biết f 1 3; f 0 3; f 1 3 . Chứng minh rằng a, b, c đều chia hết cho 3 Bài 4: Cho đa thức f x ax3 bx 2 cx d với a là số nguyên dương và f(5) - f(4) = 2019. Chứng miinh f(7) - f(2) là hợp số Bài 5: Chứng minh rằng đa thức P x x3 x 5 không có nghiệm nguyên 2 2 1 5 Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x 2 4 Bài 7: Tìm n nguyên dương sao cho 2n 3n 1 Bài 8: Cho đa thức M x3 x2 y 2x2 xy y 2 3y x 2017 . Tính giá trị của đa thức M biết x + y - 2 = 0 1 Bài 9: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A x 2017 x 2 x2 1 Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B x2 1 B. Lời giải, đáp án bài tập nâng cao trong đề thi học kì 2 lớp 7 Bài 1: Có f(7) = 343a + 98b + 21c + 4d = 72 f(3) = 27a + 18b + 9c + 4d = 42
2. f(7) - f(3) = 316a + 80b + 12c = 30 30 Suy ra 4(79a + 20b + 3c) = 30 hay 79a + 20b + 3c = 4 Mà a, b, c là các số nguyên nên 79a + 20b + 3c cũng là số nguyên Vậy không tồn tại các số nguyueen a, b, c, d để đồng thời xảy ra f(7) = 72 và f(3) = 42 Bài 2: Thay x = 0 vào x.f(x + 1) = (x + 2).f(x) được 0.f(0 + 1) = 2.f(0) hay f(0) = 0 Suy ra x = 0 là một nghiệm của f(x) Thay x = -2 vào x.f(x + 1) = (x + 2).f(x) được (-2).f(-1) = 0.f(-2) hay f(-1) = 0 Suy ra x = -1 là một nghiệm của f(x) Bài 3: Có f(-1) = a - b + c chia hết cho 3 f(0) chia hết cho 3 hay f(0) = c chia hết cho 3 f(1) chia hết cho 3 hay f(1) = a + b + c chia hết cho 3 Có f(1) + f(-1) = a - b + c + a + b + c = 2a + 2c Mà c chia hết cho 3 Suy ra 2a chia hết cho 3, mà 2 không chia hết cho 3 nên a chia hết cho 3 f(1) = a + b + c chia hết cho 3, mà a và c chia hết cho 3 nên b cũng chia hết cho 3 Bài 4: f(5) = 125a + 25b + 5c + d và f(4) = 64a + 16b + 4c + d f(7) = 343a + 49b + 7c + d và f(2) = 8a + 4b + 2c + d Có f(5) - f(4) = 61a + 9a + c = 2019 Lại có f(7) - f(2) = 335a + 45b + 5c = 5.(61a + 9a + c) = 5.2019 Vậy f(7) - f(2) là hợp số
3. Bài 5: Giả sử a là một nghiệm nguyên của P x x3 x 5 P a a3 a 5 0 Với a = 0 ta có P(a) = 5 khác 0 nên a = 0 không phải là nghiệm của P(x) Với a khác 0 thì P(a) chia hết cho a (do P(a) = 0 và a là số nguyên khác 0) Suy ra a3 a 5 chia hết cho a hay 5 chia hết cho a, a có thể bằng 1, -1, 5 và -5 Với a = 1 thì P(1) = 5 khác 0 nên a = 1 không phải là nghiệm của P(x) Với a = -1 thì P(-1) = 5 khác 0 nên a = -1 không phải là nghiệm của P(x) Với a = 5 thì P(5) = 125 khác 0 nên a = 5 không phải là nghiệm của P(x) Với a = -5 thì P(-5) = -115 khác 0 nên a = -5 không phải là nghiệm của P(x) Vậy đa thức P(x) không có nghiệm nguyên Bài 6: 2 2 1 1 5 5 Có x 0x x x 2 2 4 4 2 2 2 1 5 5 25 A x x 2 4 4 16 1 Dấu “=” xảy ra x 2 25 1 Vậy min A x 16 2 Bài 7: Có 2n 3n 1 2n 3 n 1 n 1 n 4n 1 n 1 5n 1 n 1 U 5 1; 5 Ta có bảng n + 1 -5 -1 1 5
4. n -6 -2 0 4 Mà n là số nguyên dương nên n = 4 Bài 8: M x3 x2 y 2x2 xy y 2 3y x 2017 x3 x2 y 2x2 xy y2 2y x y 2 2019 x2. x y 2 y x y 2 x y 2 2019 2019 Bài 9: Có x 2017 x 2 x 2017 2 x x 2017 2 x 2019 1 1 x 2017 2 x 2019 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0 1 Vậy Max A x 0 2019 Bài 10: x2 1 x2 1 2 2 B 1 x2 1 x2 1 x2 1 2 Có x2 0x x2 1 1x 2x x2 1 2 2 2x 1 1x x2 1 x2 1 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0 Vậy min B 1 x 0