Đề thi giao lưu học sinh môn Toán 7 - Năm học 2023-2024 - Trường THCS Quảng Thạch (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi giao lưu học sinh môn Toán 7 - Năm học 2023-2024 - Trường THCS Quảng Thạch (Có đáp án)

1. ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2023-2024 MÔN: TOÁN 7 TRƯỜNG THCS QUẢNG THẠCH Thời gian làm bài: 120 phút (Không tính thời gian phát đề) Bài 1. (4,0 điểm) 1. Tính 3 4 7 4 7 7 a. Thực hiện phép tính: A : : 7 11 11 7 11 11 22 32 42 202 b. Tính giá trị biểu thức: B . 1.3 2.4 3.5 19.21 2. Tính giá trị biểu thức a. Tìm x : 3x 2 4.3x 1 3x 1 66 . 3x 2y 2z 5x 5y 3z b. Tìm x, y, z biết: và x y z 50 . 5 3 2 Bài 2. (4,0 điểm) 21 19 7 4 a.Tìm x,biết: x 2 : 1 10 10 5 5 b. Nhà trường thành lập 3 nhóm học sinh khối 7 tham gia chăm sóc di tích lịch sử. Trong đó, 2 số học sinh của nhóm I bằng 8 số học sinh 3 11 của nhóm II và bằng 4 số học sinh nhóm III. Biết rằng số học sinh của 5 nhóm I ít hơn tổng số học sinh của nhóm II và nhóm III là 18 học sinh. Tính số học sinh của mỗi nhóm Bài 3. (4,0 điểm) a. Cho đa thức f (x) ax2 bx c với a,b,c Q . Chứng minh rằng f ( 2) f 3 0 biết 13a 2b c 0 . b. Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng a2 b2 c2 2(ab bc ca) . Bài 4. (6,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Vẽ các tia Bx, Cy vuông góc với BC nằm trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A. Gọi D là một điểm nằm giữa B và C. Đường thẳng vuông góc với AD tại A cắt Bx và Cy theo thứ tự tại E và F. a) Chứng minh AEB = ADC; b) Chứng minh tam giác EDF vuông cân;
2. c) Xác định vị trí điểm D trên BC để EF có độ dài nhỏ nhất. 2. Một phòng học hình hộp chữ nhật có chiều dài 10 m,chiều rộng 5m và chiều cao 4 m. Người ta định sơn bốn bức tường căn phòng, biết giá công sơn là 4 5000 đồng một mét vuông. Hỏi chi phí tiền công là bao nhiêu? Cho biết căn phòng có 1 cửa chính cao 1,8 m và rộng 2m và hai cửa sổ có cùng chiều dài 80 cm, chiều rộng 60 cm. Bài 5. (2,0 điểm) Tìm các số hữu tỉ a, b, c thỏa mãn đồng thời: ab = c ; bc = 4a ; ac = 9b HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN THI: TOÁN Câu Nội dung Điểm Câu 1 (4,0 điểm). Câu 1. 1 (2 điểm) 3 4 7 4 7 7 a. A : : 7 11 11 7 11 11 3 4 11 4 7 11 . . 7 11 7 7 11 7 0,25 11 3 4 4 7 7 7 11 7 11 0,25 11 3 4 4 7 0,25 7 7 7 11 11 0,25 1 11 7 11 (4đ) 7 7 11 11 1 1 0 7 Vậy A 0 22 32 42 202 b. Ta có B . 1.3 2.4 3.5 19.21 0,25 2.2 3.3 4.4 20.20 . . 0,25 1.3 2.4 3.5 19.21 (2.3.4 20).(2.3.4 20) 0,25 (1.2.3 19)(3.4.5 21) 0,25 20.2 40 ` 21 21
3. Câu Nội dung Điểm 40 Vậy B 21 Câu 1.2(2 điểm) a. Tìm x : 3x 3x 2 4.3x 1 3x 1 66 3x.32 4.3x.3 66 3x.33 4.3x.32 3x 3.66 3 0,5 27.3x 36.3x 3x 3. 2.3 6 64.3x 64.37 3x 37 x 7 . Vậy x 7 . 0,5 3x 2y 2z 5x 5y 3z b. Tìm x, y, z biết: và 5 3 2 x y z 50 . Ta có 0,25 3x 2y 2z 5x 5y 3z 15x 10y 6z 15x 10y 6z 5 3 2 25 9 4 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 0,25 3x 2y 2z 5x 5y 3z 15x 10y 6z 15x 10y 6z 15x 10y 6z 15x 10y 6z 0 5 3 2 25 9 4 25 9 4 3x 2y 2z 5x 5y 3z 0 0,25 x y y z x y z x y z 50 ; 5 2 3 3 5 2 3 5 2 3 5 10 x Vì 5 x 5.2 10 . 2 y Vì 5 y 5.3 15. 3 z Vì 5 z 5.5 25. 5 Vậy x 10; y 15; z 25 . 0,25 Câu 2 (4,0 điểm).
4. Câu Nội dung Điểm 21 19 7 4 1/ x 2 : 1 10 10 5 5 21 1 5 1 x 2 . 10 5 10 10 0,5 21 1 x 2 2 0,5 10 10 x 2 2 x 0 x 2 2 x 4 0,25 Vậy : x = 0 ; x = - 4 0,25 2 (4đ) Gọi số học sinh của nhóm I, II, III lần lượt là x , y , z (em) ( 0,25 x , y , z nguyên dương) Theo đề bài, ta có : y z x 18 2 8 4 x y z 3 11 5 0,5 2 8 4 Vì x y z chia các tỉ số trên cho BCNN 2,4,8 8 ta được 3 11 5 0,25 2.x 8.y 4.z x y z 3.8 11.8 5.8 12 11 10 Mặt khác: y z x 18 0,5 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau x y z y z x 18 2 12 11 10 11 10 12 9 x 12.2 24 0,25 y 11.2 22 z 10.2 20 Vậy số học sinh: Nhóm I là 24 em; nhóm II là 22 em, nhóm 0,25 III là 20 em 3 Câu 3(4 điểm) (4đ) a. Cho đa thức f (x) ax2 bx c với a,b,c Q .
5. Câu Nội dung Điểm Ta có f ( 2) 4a 2b c f (3) 9a 3b c 1.0 Suy ra f ( 2) f (3) 13a 2b c 0. Do đó f ( 2) và f (3) là hai số đối nhau nên f ( 2) f 3 0 1.0 b. Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên 2 0 a b c a ab ac 0,5 0 b a c b2 ab bc 0,5 0 c a b c2 ac bc 0,5 0,5 Do đó a2 b2 c2 2(ab bc ca) . Câu 4 (6 điểm) y x F A 1 3 0,25 4 E (6đ) 2 2 1 1 B H D C Câu 4.1(5 điểm) 0,25 µ µ o a) Do ABC vuông cân tại A nên AB AC;B1 C1 45 0,25 µ µ o µ o 0,25 Do Bx  BC nên B1 B2 90 mà B1 45 suy ra µ o µ o o o 0,25 B2 90 B1 90 45 45
6. Câu Nội dung Điểm ¶ o 0,25 Chứng minh tương tự ta được C2 45 µ · o µ · µ µ Ta có: A1 BAD 90 A3 BAD A1 A3 0,25 µ µ µ µ o Xét AEB và ADC có: A1 A3 ; AB AC ; B1 C1 45 0,25 AEB = ADC (g -c - g) b) b) Do AEB = ADC AE = AD mà AED vuông tại A 0,25 Suy ra AED vuông cân tại A 0,25 ·AED 45o 0,25 Chứng minh tương tự phần a) suy ra ADB = AFC (g – c – g) 0,25 AD = AF DAF vuông cân tại A 0,25 D· FA 45o 0,25 EDF có ·AED 45o D· FA 0,25 EDF vuông cân tại D. 0,25 µ o c) c) Kẻ AH BC ABH vuông tại H có B1 45 ABH vuông cân tại H HB = HA 0,25 ABC vuông cân tại A có đường cao AH đồng thời là trung tuyến suy ra BH = HC 0,25 mà HB = HA suy ra BC = 2AH 0,25 EF =AE + AF= AD + AD = 2AD 2AH = BC 0,25 đẳng thức xảy ra khi D  H. Câu 4.2(1 điểm) Diện tích xung quanh của hình phòng học là: 2.(10 +5)4 = 120 m2 0,25 Diện tích cửa là: 1,8.2 + 0,8.0,6.2 = 4,56 m2 0,25 Diện tích cần sơn là 120 - 4,56 = 115,44 m2 0,25 Chi phí tiền công sơn: 45000.115,44 = 5194800 (đồng) 0,25 5 Câu 5(2 điểm)
7. Câu Nội dung Điểm (2đ) Nhân từng vế ba đẳng thức ta được abc 2 36abc 0,25 Nếu abc 0 thì kết hợp với đề bài ta được a b c 0 0,25 Nếu abc 0 thì abc 36 0,25 Kết hợp ab 6 c 6 0,25 Kết hợp bc 4a a 3 0,25 Kết hợp ac 9bsuy ra b 2 a 3,b 2 Với c 6thì ab 6 0,25 a 3,b 2 a 3,b 2 Với c 6 ab 6 a 3,b 2 0,25 Vậy có 5 bộ a,b,c thỏa mãn là 0;0;0 ; 3;2;6 ; 3; 2;6 ; 3; 2; 6 ; 3;2; 6 0,25