Đề cương ôn tập giữa kì II môn Toán học Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Trường THCS Đoàn Thị Điểm (Có đáp án)

Nội dung text: Đề cương ôn tập giữa kì II môn Toán học Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Trường THCS Đoàn Thị Điểm (Có đáp án)

1. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP GIỮA KÌ II TRƯỜNG THCS ĐOÀN THỊ ĐỂM NĂM HỌC 2022-2023. MÔN: TOÁN 7 A. LÝ THUYẾT 1 Đại số: Làm quen với biến cố và xác suất của biến cố, tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau 2 Hình học: Tam giác cân, các trường hợp bằng nhau của tam giác, quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác, quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, quan hệ giữa ba cạnh của tam giác, sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong tam giác. B. CÁC DẠNG BÀI TÂP I. TRĂC NGHIỆM Câu 1. Gieo ngẫu nhiên xúc xắc một lần được mặt 6 chấm. Biến cố nào dưới đây xảy ra: A. "Gieo được mặt có số chấm là số lẻ"; B. "Gieo được mặt có số chấm là hợp số"; C. "Gieo được mặt có số chấm là số chính phương"; D. "Gieo được mặt có số chấm là số nguyên tố". Câu 2. Gieo ngẫu nhiên xúc xắc một lần rồi quan sát số chấm xuất hiện trên mặt con xúc xắc, biến cố nào sau đây là biến cố chắc chắn: A. "Gieo được mặt có số chấm là số chẵn"; B. "Gieo được mặt có số chấm là số chia hết cho 3"; C. "Gieo được mặt có số chấm là số không bé hơn 1"; D. "Gieo được mặt có số chấm lớn hơn 2". Câu 3. Một hộp có 4 tấm thẻ được in số lần lượt từ 1 đến 4. Lấy ra ngẫu nhiên một thẻ từ hộp và quan sát số trên đó. Biến cố nào dưới đây là biến cố ngẫu nhiên. A. "Số trên thẻ lấy ra không bé hơn 1"; B. "Số trên thẻ lấy ra lớn hơn 4"; C. "Số trên thẻ lấy ra là số tự nhiên"; D. "Số trên thẻ lấy ra là số lẻ". Câu 4. Tổ I lớp 7E có 8 bạn đều là nam, trong đó có 3 bạn là học sinh giỏi. Giáo viên chọn ngẫu nhiên một bạn làm tổ trưởng. Biến cố nào dưới đây là biến cố không thể: A. "Bạn được chọn là nam"; B. "Bạn được chọn là nữ"; C. "Bạn được chọn không phải học sinh giỏi"; D. "Bạn được chọn là học sinh giỏi". Câu 5. Gieo một con xúc xắc được chế tạo cân đối. Xác suất của biến cố: "Gieo được mặt có số chấm là số nhỏ hơn 7 " là 1 1 A. 0 . C. . B. 1. D. . 2 6
2. Câu 6. Gieo một con xúc xắc được chế tạo cân đối. Xác suất của biến cố: "Gieo được mặt có số chấm là 3 " là 1 1 A. 0 . B. 1 . C. D. . 2 6 Câu 7. Hai túi I và II, mỗi túi chứa 4 tấm thẻ được ghi số: 3;5;7;9. Từ mỗi túi rút ra ngẫu nhiên một tấm thẻ. Xác suất của biến cố: "Tích hai số ghi trên hai tấm thẻ lớn hơn 8 " là 1 A. 0,25 . B. 1 . C. 0 . D. . 6 Câu 8. Một bài thi vấn đáp có 18 câu hỏi được đánh số từ 1 đến 18 để học sinh bốc thăm trả lời. Xác suất của biến cố: " Số thứ tự của câu hỏi được chọn là số có một chữ số" là 1 1 1 A. . B. 1 . C. . D. . 18 9 2 Câu 9. Trong một hộp kín có một số viên bi cùng kích thước: 10 viên bi màu đỏ và một số viên bi màu xanh. Hùng lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Biết rằng biến cố" Hùng lấy được viên bi màu xanh" và biến cố "Hùng lấy được viên bi màu đỏ" là hai biến cố đồng khả năng. Khi đó số viên bi màu xanh có trong thùng là 1 A. 0 . B. 1 . C. . D. 10 . 2 Câu 10. Trong một hộp kín có 30 quả bóng cùng kích thước, một số quả màu đỏ và một số quả màu vàng. Mai lấy ngẫu nhiên một quả bóng trong hộp. Biết rằng biến cố" Mai lấy được quả bóng màu đỏ" và biến cố " Mai lấy được quả bóng màu xanh" là hai biến cố đồng khả năng. Khi đó số quả bóng màu đỏ có trong thùng là: 1 A. 20 . B. 30 . C. 15 . D. . 2 Câu 11. Trong một hộp kín có 60 quả bóng cùng kích thước, một số quả màu đỏ và một số quả màu vàng, một số quả bóng màu xanh. Lan lấy ngẫu nhiên một quả bóng trong hộp. Biết rằng biến cố "Lan lấy được quả bóng màu đỏ", biến cố "Lan lấy được quả bóng màu xanh" và biến cố "Lan lấy được quả bóng màu vàng" là ba biến cố đồng khả năng. Khi đó số quả bóng màu đỏ có trong thùng là: 1 1 A. 30 . B. 20 . C. . D. . 2 3 Câu 12. Cho bốn số −3; 7; x ; y với y ≠ 0 và −3x=7y, một tỉ lệ thức đúng được thiết lập từ bốn số trên là: −3 x −37 y −4 7 x A. = B. = C. = D. = y 7 xy 7 x −3 y 12 4 Câu 13. Cho = . Giá trị của x là: x 9 A. x = 3 ; B. x =−3 ; C. x =−27 ; D. x = 27 16 x Câu 14. Có bao nhiêu giá trị x thỏa mãn = . x 25 A. 1 B. 2 C. 0 D. 3
3. 3 Câu 15. Giá trị nào dưới đây của x thỏa mãn 2,5:7,5= x : 5 1 1 A. x = B. x = 5 C. x = D. x = 3 5 3 xy Câu 16. Cho = và x−y=12 thì giá trị của x và y là: 74 A. x=19,y= 5 B. x=18,y= 7 C. x=2,y= 16 D. x=21,y= 12 abc Câu 17. Cho == và abc+−=−8 khi đó 11 15 22 A. a=22,b=−30, c=− 22 B. a=22,b= 30,c= 22 C. a=−22,b=− 30,c=− 44 D. a=22,b= 30,d= 44 . Câu 18. Cho MNP có MN BC> AB . Trong các khẳng định sau, câu nào đúng? A. Aˆ>Bˆ >Cˆ. B. Cˆ>Aˆ>Bˆ . C. Cˆ AC> AB . C. BC<AC < AB . D. BC= AC< AB . Câu 25. Trong hình sau, trong đường vuông góc và đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng BF đường nào ngắn nhất? A B C D E F
4. A. AC . B. AD . C. AE . D. AB . Câu 26. Cho ba điểm A,B,C thẳng hàng, B nằm giữa A và C . Trên đường thẳng vuông góc với AC tại B ta lấy điểm H . Khi đó: A. AH BH D. AH= BH Câu 27. Bộ ba nào trong các bộ ba đoạn thẳng có độ dài cho sau đây không thể là ba cạnh của một tam giác A. 4 cm,5 cm,8 cm B. 3 cm,6 cm,12 cm C. 5 cm,6 cm,10 cm D. 11 cm,15 cm, 21 cm Câu 28. Một tam giác cân có độ dài hai cạnh là 3, 9 cm và 7,9 cm . Chu vi của tam giác này là: A. 15,5 cm B. 17,8 cm C. 19,7 cm D. 20,9 cm Câu 29. Cho tam giác ABC với hai cạnh BC=1 cm, AC = 9 cm . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. AB= 9 cm; ABC cân B. AB = 7 cm; ABC cân C. AB= 6 cm; ABC vuông D. ABC,, dều sai Câu 30. Dựa vào bất đẳng thứ tam giác, kiểm tra xem bộ ba nào trong các bộ ba đoạn thẳng có độ dài cho sau đây không thể là ba cạnh của một tam giác A. 3 cm,5 cm,7 cm B. 4 cm,5 cm,6 cm C. 2 cm,5 cm,7 cm D. 3 cm,5 cm,6 cm Câu 31. Cho ABC có cạnh AB= 1 cm và cạnh BC= 4 cm . Tính độ dài cạnh AC biết độ dài cạnh AC là một số nguyên A. 1 cm B. 2 cm C. 3 cm D. 4 cm Câu 32. Cho ABC có cạnh AB= 10 cm và cạnh BC= 7 cm . Tính độ dài cạnh AC biết độ dài cạnh AC là một số nguyên tố lớn hơn 11 A. 17 cm B. 15 cm C. 19 cm D. 13 cm Câu 33. Cho ABC cân tại A có một cạnh bằng 5 cm . Tính cạnh BC của tam giác đó biết chu vi tam giác bằng 17 cm A. BC = 7 cm hoặc BC = 5 cm B. 7 cm C. 5 cm D. 6 cm Câu 34. Cho ABC có M là trung điểm BC . Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng? A. AM là đường trung tuyến của tam giác ABC B. AM là đường phân giác của tam giác ABC C. AM là đường trung trực của tam giác ABC D. AM là đường cao của tam giác ABC Câu 35. Điền số thích hợp vào chỗ chấm: "Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy: 2 1 3 1 A. B. C. D. 3 3 2 2 Câu 36. Cho G là trọng tâm của tam giác đều chọn câu đúng: A. GA=GB= GC . B. GA=GB> GC C. GA GB>GC Câu 37. Cho ABC có hai đường trung tuyến BD, CE sao cho BD= CE . Khi đó ABC A. Cân tại B B. Cân tại C
5. C. Vuông tại A . D. Cân tại A Câu 38. Cho ABC có hai đường phân giác CD và BE cắt nhau tại I . Khi đó: A. AI là trung tuyến kè từ A B. AI là đường cao kẻ từ A C. AI là trung trực cạnh BC D. AI là phân giác của góc A Câu 39. Cho ABC có hai đường phân giác CD và BE căt nhau tại I . Khi đó: A. I cách đều ba đỉnh của ABC B. IC=ID=IB= IE C. I là điểm cách đều ba cạnh của ABC D. Cả A,B đều đúng Câu 40. Em hãy chọn chọn câu đúng nhất A. Ba tia phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là trọng tâm của tam giác B. Giao điểm của ba đường phân giác của tam giác cách đều ba cạnh của tam giác C. Trong một tam giác, đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh cũng đồng thời là đường phân giác ứng với cạnh đáy D. Giao điểm của ba đường phân giác của tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó II. TỰ LUẬN DẠNG 1. Biến cố và xác suất của biến cố Bài 1. Trong các biến cố sau, em hãy chỉ ra biến cố nào là biến cố chắc chắn, biến cố không thể, biến cố ngẫu nhiên. A: "Bà Thanh năm nay 70 tuổi, bà sẽ sống thọ đến 300 tuổi"; B: "Theo lịch dương, tháng 1 có 31 ngày"; C: "Ngày mai trời có mưa to"; D: "Năm. 2023, dân số Việt Nam sẽ vượt quá 100 triệu người". Bài 2. Một hộp có 4 quả bóng màu đỏ và 3 quả bóng màu vàng. Lấy ngẫu nhiên cùng một lúc 2 bóng từ hộp thấy chúng đều có màu đỏ. Trong các biến cố sau, biến cố nào xảy ra, biến cố nào không xảy ra? A: "Có ít nhất 1 bóng màu đỏ trong hai bóng lấy ra"; B: "Có ít nhất 1 bóng màu xanh trong hai bóng lấy ra"; C: "2 bóng lấy ra có cùng màu"; D: "Không có bóng nào màu vàng trong hai bóng lấy ra". Bài 3. Lớp 7 A có 42 học sinh, trong đó có 21 học sinh nam. Cô giáo gọi ngẫu nhiên một học sinh trả lời câu hỏi. Tính xác suất để học sinh được gọi trả lời là nữ. Bài 4. Một hộp có 4 tấm thẻ cùng kích thước được in số lần lượt là 6; 7;8;9 . Rút ra ngẫu nhiên 1 thẻ từ hộp. Tính xác suất của các biến cố sau: A: " Tấm thẻ rút ra ghi số chia hết cho 5 ". B: " Tấm thẻ rút ra ghi số chính phương". C: "Tấm thẻ rút ra ghi số tròn chục". D: " Tấm thẻ rút ra ghi số lớn hơn 5" ". Bài 5. Trên xe taxi đi từ thành phố Hưng Yên lên Hà Nội có 2 hành khách nam và 2 hành khách nữ. Khi xe đến Văn Lâm thì một hành khách xuống xe. Tính xác suất để hành khách xuống xe là nữ. Dạng 2: Bài toán liên quan đến tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số bằng nhau Bài 6. Tìm a, b, c (hoặc x; y;z )biết: abc a) == và 2a+3bc−=50 385
6. abc b) == và 5ab+−2c =28 10 621 abbc c) =; = và 2a−3b+4c=330 10 52 5 abb 3 d) =; = và 4abc+−=8 14c 4 xyz e) == và x2−y2+z2=−60 375 a−1b−2c−3 f) == và a−2b+3c=14 234 g) 5a=8b= 20c và abc−−=3 2a3b4c h) == và abc++=49 345 abcd Bài 7. Các số a,b,c,d thoả mãn điều kiện: === và abcd+++≠0 . 3b3c3d3a Chứng minh rằng a=b=c= d. ab+ca + Bài 8. Chứng minh rằng nếu a2 = bc( với a ≠b,a≠c) thì = ab−ca − xyz −2x+y+5z Bài 9. Cho == . Tính giá trị của biểu thức A = −4−73 2x−3y−6z (với x, y,z khác 0 và 2x−3y−6z≠0 ) abc Bài 10. Cho ba tỉ số bằng nhau là: ;; . Tìm giá trị của mỗi tỉ số đó. bccaab+++ ( Xét abc++≠0 và abc++=0 ) ac Bài 11. Chứng minh rằng nếu = thì bd 5a+3b5c+3d a) = 5a−3b5c−3d 7a2+3ab7 c2+3cd b) = 11a2−8 b211c2−8 d2 Dạng 3: Bài toán thực tế Bài 12. Số bi của ba bạn Hà, Bảo, Chi tỉ lệ với 3; 4; 5 . Biết số bi của Bảo nhiều hơn số bi của Hà 15 viên bi. Tính số bi mà mỗi bạn có. 8 Bài 13. Ba lớp 7 có tất cả 153 học sinh. Số học sinh lớp 7 B bằng số học sinh lớp 7 A, số học sinh 9 17 lớp 7C bằng số học sinh lớp 7B. Tính số học sinh mỗi lớp. 16 Bài 14. Biết độ dài ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với 3, 5, 7 . Tính độ dài các cạnh của một tam giác, biết: a) Chu vi của tam giác là 45 cm ; b) Tổng độ dài cạnh lớn nhất và cạnh nhỏ nhất hơn cạnh còn lại 20 cm . Bài 15. Ba đội máy cày, cày ba cánh đồng cùng diện tích. Đội thứ nhất cày trong 5 ngày, đội thứ hai cày trong 4 ngày và đội thứ ba cày trong 6 ngày. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu máy cày, biết rằng ba đội có tất cả
7. 37 máy? (Năng suất các máy như nhau). Bài 16. Một người mua vải đề may ba áo sơ mi kích cỡ như nhau (coi như diện tích bằng nhau). Người ấy mua ba loại vải kh ổ rộng 0 ,7 m;0 ,8 m và 1 ,4 m với tổng số vải dài là 5, 7 m . Tính s ố mét vải mỗi loại người đó đã mua? Bài 17. Hưởng ứng phong trào kế hoạch nhỏ, ba lớp 7A, 7B, 7C có 130 học sinh tham gia. Mỗi học sinh lớp 7A góp 2 ki-lô-gam, mỗi học sinh 7B góp 3 ki- lô-gam, mỗi học sinh lớp 7C góp 4 ki- lô -gam. Tính số học sinh tham gia phong trào của mỗi lóp đó, biết số giấy thu được của ba lớp đó bằng nhau. Bài 18. Ba đội công nhân làm ba khối lượng công việc như nhau. Đội thứ nhất hoàn thành công việc trong 4 ngày, đội thứ hai trong 6 ngày. Hỏi đội thứ ba hoàn thành công việc trong bao nhiêu ngày? Biết rằng tổng số người của đội một và đội hai gấp năm lần số người của đội ba. Dạng 4. Hình học Bài 19. Cho tam giác ABC , gọi M là trung điểm của BC . Trên tia đối của tia MA l ấy điểm D sao cho MA = MD . Chứng minh rằng a) ABM= DCM b) AB//CD AB+ AC c) AM < 2 Bài 20. Cho tam giác ABC cân tại A . CP, BQ là các tia phân giác trong của tam giác ABC (P∈AB, Q∈ AC) . Gọi O là giao điểm của CP và BQ . a) Chứng minh tam giác OBC là tam giác cân. b) Chứng minh đường thẳng AO vuông góc với BC . c) Chứng minh CP= BQ . d) Tam giác APQ là tam giác gì? Vì sao? Bài 21. Cho ABC vuông tại A . Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE= BA , trên tia BA lấy điểm F sao cho BF= BC . Kẻ BD là phân giác của ABC (D∈ AC) . Chứng minh rằng: a) DE⊥ BC ; b) AD< DC c) ADF= EDC Bài 22. Cho tam giác ABC . Gọi E,F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, AC . Trên tia đối của tia FB lấy điểm P sao cho PF= BF . Trên tia đối của tia EC lấy điểm Q sao cho QE= CE . a) Chứng minh: AQE= BCE, APF= CBF , từ đó suy ra AP= AQ . b) Chứng minh ba điểm P,A,Q thẳng hàng. c) Chứng minh BQ / /AC và CP / /AB . d) Gọi R là giao điểm của hai đường thẳng PC và QB . Chứng minh rằng ba đường thẳng AR, BP,CQ đồng quy. Bài 23. Hai khu vườn A và B nằm về một phía của con kênh d . Hãy xác định bên bờ kênh cùng phía với A và B một điểm C để đặt máy bơm tưới nước từ kênh tưới cho hai khu vườn sao cho tổng độ dài đường ống dẫn nước từ máy bơm đến hai khu vườn là ngắn nhất
8. Bài 24. Cho đường thẳng d và hai điểm AB, nằm cùng về một phía của d và AB không song song và không vuông góc với d . Một điểm H di động trên d . Tìm vị trí của H sao cho HA− HB là a) Nhỏ nhất b) Lớn nhất HƯỚNG DẪN GIẢI ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C D B B D B D D C 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B D D B A C C C C C 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 A A B B B C B C A C 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 D D A A A A D D C B DẠNG 1. Biến cố và xác suất của biến cố Bài 1. Gợi ý: A là biến cố ngẫu nhiên B là biến cố chắc chắn C biến cố ngẫu nhiên D biến cố ngẫu nhiên Bài 2. Gợi ý: Biến cố A, C xảy ra; Biến cố B, D không xảy ra. Bài 3. Gợi ý: Số học sinh nữ là: 42 – 21 = 21 (học sinh) 21 Xác suất để học sinh được gọi là nữ là: = 50% 42 Bài 4. Gợi ý: Biến cố A xác suất là 0 1 Có 1 số trong 4 số đã cho là số chính phương là 9 nên xác Suất biến cố B là: = 25% 4 Biến cố C xác suất là 0 Cả 4 số đã cho đều lớn hơn 5 nên biến cố D xác suất là 100% 2 Bài 5. Gợi ý: Xác suất để học sinh được gọi là nữ là: = 50% 4 Dạng 2: Bài toán liên quan đến tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số bằng nhau Bài 6. Tìm a, b, c (hoặc x; y;z )biết: abc a) == và 2a+3bc−=50 , 385
9.  a = 6 abc2a3bc2a+3bc− 50  Gợi ý: ==⇒===2⇒b =16 385 624 56+ 24−52 5  c = 10 abc b) == và 5ab+−2c =28, 10 621 a = 20 abc5ab2c5ab+−2c 28  Gợi ý: ==⇒===2⇒b =12 10 621 50 642 50 +6− 42 14  c = 42 abbc c) =; = và 2a−3b+4c=330 10 52 5 a = 30 abbc5ab2c2a3b4c2a−3b+4c330  Gợi ý: =;=⇒==⇒===30⇒b =30 10 525 101 543 10 431−+0 11  c = 75 abb 3 d) =; = và 4abc+−=8 14c 4  3  a =  5 abb3 a bbc 4a b3c4abc4a+ b− c 8  12 Gợi ý: =;=⇒=;=⇒==⇒===2,4⇒b = 14c 414341 14114 410 5 11++  3 33  16 c =  5 xyz e) == và x2−y2+z2=−60 375 x=6x=−6 xyzx2y2z2x2−y2+z2−60  Gợi ý: ==⇒===4⇒y=14∨y=− 14 375 949 259 − 49+ 25− 15  z=10z=− 10 a−1b−2c−3 f) == và a−2b+3c=14 234 a = 3 a−1b−2c−3a−12b−43c−9a−12−b+4+3 c−98  Gợi ý: ==⇒=== ==1⇒b =5 2342 6 12 2−6+128  c = 7 g) 5a=8b= 20c và abc−−=3 a = 24 abcabc−− 3  Gợi ý: 5a=8b=20c⇒===3⇒b=15 8 5 2 8 −52− 1   c = 6 2a3b4c h) == và abc++=49 345
10. a = 18 2a3b4cabc abc++ 49  Gợi ý: ==⇒===12⇒b = 16 345 34534518+ 16+ 15 ++ c = 15 23423412  abcd Bài 7. Các số a,b,c,d thoả mãn điều kiện: === và abcd+++≠0 . 3b3c3d3a Chứng minh rằng a=b=c= d. abcdabcd+++ 1 Gợi ý: === =(doabcd+++≠0) ⇒a =b=c=d 3b3c3d3a3(abcd+++) 3 ab+ca + Bài 8. Chứng minh rằng nếu a2 = bc( với a ≠b,a≠c) thì = ab−ca − abab+ab −ab +ac + Gợi ý: a2 =bc ⇒===⇒= caac+ca−ab −ca − xyz −2x+y+5z Bài 9. Cho == . Tính giá trị của biểu thức A = −4−73 2x−3y−6z (với x, y,z khác 0 và 2x−3y−6z≠0 ) x=−4k xyz  Gợi ý: Đặt ===k⇒y=−7k −4−73   z= 3k −2x+y+5z8k−7k+15k 16 A = = = 2x−3y−6z−8k+21k− 18k 11 abc Bài 10. Cho ba tỉ số bằng nhau là: ;; . Tìm giá trị của mỗi tỉ số đó. bccaab+++ ( Xét abc++≠0 và abc++=0 ) abc Gợi ý: Nếu abc++=0 thì bc+=−ac ;+ a=− ba;+ b=− c⇒===−1 bc+ca +ab+ abcabc++ 1 Nếu abc++≠0 thì === = bc+ca +ab+2(abc ++) 2 ac Bài 11. Chứng minh rằng nếu = thì bd 5a+3b5c+3d a) = 5a−3b5c−3d 7a2+3ab7 c2+3cd b) = 11a2−8 b211c2−8 d2 Gợi ý: ac Đặt ==k⇒a=kb, c= kd( b, d ≠0) bd a) Ta có:
11. 5a+3b5kb+3b bk(5+ 3) 5k +3 === (1) 5a−3b5kb−3b bk(5−3) 5 k −3 5c+3d5kd+3 d d(5k+ 3) 5k +3 === (2) 5c−3d5kd−3 dd(5k−3) 5k −3 5a+3b5c+3d Từ (1) và (2) suy ra = 5a−3b5c−3d b) Ta có: 22 7a2+3ab7 kb22+3 kb2 b(7k+ 3k) 7k2+3k = = = (3) 11a2− 8b211kb22− 8 b2b2(11k2− 8 ) 11k2−8 22 7c2+3cd7 kd22+3 kd 2 d(7k+ 3k) 7k2+3k = = = (4) 11c2− 8d211kd22− 8d 2d2(11k2− 8 ) 11k2−8 7a2+3ab7 c2+3cd Từ (3) và (4) suy ra: = 11a2− 8b211c2− 8d2 Dạng 3: Bài toán thực tế Bài 12. Gợi ý: Gọi số bi của Hà, Bảo, Chi lần lượt là a, b, c. abc Theo đề bài: abc::= 3:4:5hay == và ba−=15 345 abcba− Ta có: ===15⇒a= 45,b= 60,c=75 34543− Bài 13. Gợi ý: Gọi số học sinh của lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là a, b, c. 817 Theo đề bài: abc++=153 và b=ac; = b 916 817 817 8 Ta có: abc++= a+a+b=a+a+. a 916 916 9 817 18+ 16+ 17 51 =a+a+a=a=a=153⇒a= 54,b= 48,c=51 918 18 18 Bài 14. Gợi ý: Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác lần lượt là a, b, c. abc Theo đề bài: abc::= 3:5:7 hay == 357  a = 9 abcabc++ 45  a) Chu vi tam giác bằng 45 nên abc++=45 mà ===3⇔b =15 357357++ 15  c = 21 b) Do abc::= 3:5:7 nên a<b<c, suy ra theo đề bài abc−+=20 a = 12 abcabc−+ 20  Ta có: ===4⇒b =20 357357−+ 5  c = 28
12. Bài 15. Gợi ý: Gọi số cày của đội thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là a, b, c máy cày ta có: abc++=37 Do số lượng máy cày tỉ lệ nghịch với số ngày cày nên: a = 12 abcabc++ 37  5a=4b=6c⇒===1⇒b=15 12 15 10 12+ 15+ 10 37  c = 10 Bài 16.,Gợi ý: Gọi số mét vãi loại khổ rộng 0,7 m;0,8 m và 1, 4 m lần lượt là a, b, c thì abc++=5, 7 Do kích thức ba áo sơ mi như nhau nên: a = 2, 4 abcabc++ 5, 7  0,7a= 0,8b= 1,4c⇒ 7a=8b=14c⇒===0,3⇒b= 2,1 874874++ 19   c = 1, 2 Bài 17. Gợi ý: Gọi số cày của lớp 7A, lớp 7B, lớp 7C lần lượt là a, b, c ta có: abc++=130 Do số lượng giấy góp các lớp bằng nhau nên số lượng học sinh mỗi lớp tỉ lệ nghịch với số lượng giấy mỗi a = 60 abcabc++ 130  học sinh góp, do đó: 2a=3b=4c⇒===10⇒b= 40 643643++ 13  c = 30 Bài 18. Gợi ý: Gọi số người đội thứ nhất, đội thứ hai, đội thứ ba lần lượt là a, b, c ab Đội thứ nhất hoàn thành công việc trong 4 ngày, đội thứ hai trong 6 ngày nên 4a=6b⇒= 32 Tổng số người của đội một và đội hai gấp năm lần số người của đội ba nên ab+=5 c abab+ 5 cab Ta có: ===c⇒==c⇒4a=6b=12c 3232+ 532 Vậy đội thứ 3 hoàn thành công việc trong 12 ngày. Dạng 4. Hình học Bài 19. Gợi ý: a) Xét ∆ABM và ∆DCM có A MA = MD (giả thiết) MB= MC (M là trung điểm) ABM= CMD (đối đỉnh) ⇒∆ABM=∆ DCM (c-g-c) C b) ∆ABM=∆DCM ⇒BAM = MDC ⇒ AB// CD (có 2 góc B M ở vị trí so le trong bằng nhau) c) Xét bất đẳng thức trong tam giác ACD ta có: AD< AC+ CD ∆ABM=∆ DCM⇒ AB= CD (cặp cạnh tương ứng) Do đó: D AD AB+ AC AB+ AC AD< AC+ AB ⇒<⇒AM < 222
13. Bài 20. A P Q O B C H Gợi ý: a) Tam giác ABC cân nên ABC= ACB mà BQ và CP là tia phân giác của 2 góc ABC, ACB nên OBC = OCB do đó tam giác OBC là tam giác cân. b) O là giao điểm của 2 đường phân giác BQ và CP nên AO là đường phân giác của tam giác ABC, Tam giác ABC cân tại A có AO là đường phân giác nên AO cũng là đường cao, do đó đường thẳng AO vuông góc với BC . c) Xét tam giác APC và AQP bằng nhau rồi suy ra CP = BQ d) Chứng minh tam giác APQ là tam giác cân. Bài 21. B E A D C F Gợi ý a) Chứng minh hai tam giác ABD và EBD bằng nhau rồi suy ra DE⊥ BC b) Xét tam giác ECD vuông tại E nên cạnh huyền DC > DE mà DE = AD (hai tam giác ABD và EBD) nên ta có điều cần chứng minh. c) Chứng minh hai tam giác ADF và EDC bằng nhau bằng cách chứng minh AF = EC, rồi xét 2 tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh. Bài 22. Cho tam giác ABC . Gọi E,F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, AC . Trên tia đối của tia FB lấy điểm P sao cho PF= BF . Trên tia đối của tia EC lấy điểm Q sao cho QE= CE . a) Chứng minh: AQE= BCE, APF= CBF , từ đó suy ra AP= AQ . b) Chứng minh ba điểm P,A,Q thẳng hàng.
14. c) Chứng minh BQ / /AC và CP / /AB . d) Gọi R là giao điểm của hai đường thẳng PC và QB . Chứng minh rằng ba đường thẳng AR, BP,CQ đồng quy. A Q P E F I B C R Gợi ý: a) AQE= BCEc( − g− c), APF= CBFc( − g− c) ; AP = AQ (cùng bằng BC) b) Chứng minh: QAB = ABC; PAC = ACB (các cặp góc tương ứng của tam giác bằng nhau) Do đó: QAB + BAC + PAC = ABC+ BAC + ACB =1800 (tổng 3 góc trong 1 tam giác) Suy ra ba điểm P,A,Q thẳng hàng. c) Chứng minh các cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau nên suy ra BQ / /AC và CP / /AB . d) Chứng minh ba đường thẳng AR, BP,CQ là ba đường trung tuyến của tam giác QRP nên đồng quy. Bài 23. Gợi ý: A B d C' C B' Gọi B’ là điểm sao cho d là đường trung trực của BB’. Do d là đường trung trực của BB’ và C thuộc d nên CB’ = CB. Khi đó AC + CB = AC + CB’ ≥ AB’. Khi đó giá trị nhỏ nhất của AC + CB’ bằng AB’.
15. AC + CB’ = AB’ khi C nằm giữa A và B’. Vậy C là điểm nằm giữa A và B’ với B’ là điểm sao cho d là đường trung trực của BB ’. Bài 24 . Gợi ý: a) B A d H Ta có |HA − HB| ≥ 0 với một điểm H tùy ý và |HA − HB| = 0 chỉ với các điểm H mà HA = HB, tức là chỉ với các điểm H nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB. Mặt khác H phải thuộc d. Vậy H là giao điểm của đường thẳng d và đường trung trực của đoạn thẳng AB. Có giao điểm này vì AB không vuông góc với d. Tóm lại: Khi H là giao điểm của d và đường trung trực của đoạn thẳng AB thì |MA − MB| đạt giá trị nhỏ nhất và bằng 0. b) A B d H N Vì AB không song song với d nên AB cắt d tại N. Với điểm H bất kỳ thuộc d mà H không trùng với N thì ta có tam giác HAB. Theo hệ quả bất đẳng thức tam giác ta có: |HA−HB| < AB Khi H ≡ N thì |HA−HB|= AB Vậy |MA−MB| lớn nhất là bằng AB, khi đó M ≡ N là giao điểm của hai đường thẳng d và AB.